O modo anônimo do navegador impede que sites, provedores ou empregadores registrem sua atividade online?

Não.
O modo anônimo só evita que o navegador salve histórico, cookies e arquivos temporários localmente.
Ele não oculta o IP nem impede que sites, provedores ou empregadores registrem acessos ou que ocorram técnicas de tracking (ex.: fingerprinting).
Para maior privacidade, use VPN ou Tor e evite logins.