Como determinar o menor número inteiro de períodos em juros compostos para que um capital cresça por um fator f, dada a taxa i por período?

t = \(\lceil \log_{1+i}(f)\rceil\)

Explicação:
Partindo de \(M=C(1+i)^t\) e definindo o fator \(f=\dfrac{M}{C}\), temos \(f=(1+i)^t\), então \(t=\log_{1+i}(f)\). Como o prazo deve ser inteiro, toma-se o teto: \(t=\lceil\log_{1+i}(f)\rceil\).

Exemplo:
Suponha \(f=5\) e \(i=2\%\) ao mês.
\(t=\left\lceil\log_{1.02}(5)\right\rceil=\left\lceil\dfrac{\ln 5}{\ln 1.02}\right\rceil\approx\lceil 81.27\rceil=82\) meses.
Portanto, são necessários 82 meses para multiplicar o capital por 5.