Flashcard FC413716
Por que, se os montantes em juros simples e compostos coincidem em t=0 e t=p, então para 0<t<p vale M_c(t) < M_s(t)?
Regime de Juros e Descontos Compostos
Por que, se os montantes em juros simples e compostos coincidem em t=0 e t=p, então para 0<t<p vale M_c(t) < M_s(t)?
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Resposta
Porque a função exponencial é convexa; a corda que liga os pontos em 0 e p fica acima da curva, logo o montante composto entre esses instantes é menor que o simples.Explicação:
As funções são \(M_s(t)=C(1+it)\) (linear) e \(M_c(t)=C(1+i)^t\) (exponencial). Pela convexidade de \((1+i)^t\), para \(0 \(\displaystyle (1+i)^t < (1-\tfrac{t}{p})\cdot1 + \tfrac{t}{p}(1+i)^p\).
Multiplicando por \(C\) e usando que \(C(1+i)^p=C(1+ip)\) (pontos coincidentes), obtemos
\(\displaystyle M_c(t)=C(1+i)^t < C\big((1-\tfrac{t}{p})+\tfrac{t}{p}(1+ip)\big)=C(1+it)=M_s(t).\)
exemplo: escolha \(C=1000\), \(i=0{,}20\), \(p=1\) e \(t=0{,}5\).
\(M_s(0{,}5)=1000(1+0{,}2\cdot0{,}5)=1000(1{,}1)=1100.\)
\(M_c(0{,}5)=1000(1{,}2^{0{,}5})\approx1000\cdot1{,}095445=1095{,}45.\)
Portanto \(M_c(0{,}5)
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