Como verificar se uma taxa de juros anual torna equivalentes dois fluxos de pagamentos em tempos diferentes?

Resposta

Trazer todos os valores ao mesmo instante (presente ou futuro) usando os fatores de acumulação/desconto \( (1+i)^n \) e verificar se as somas coincidem.

Explicação:
Para testar uma taxa \(i\), escolha um instante comum (por exemplo, fim do último período) e calcule o valor desse instante de cada componente:
- valor acumulado do empréstimo: \(PV\cdot(1+i)^N\);
- cada pagamento acumulado: \(P_k\cdot(1+i)^{\,N-k}\).
Se a soma dos pagamentos acumulados for igual ao valor acumulado do empréstimo, a taxa é válida. Se for menor, a taxa real cobrada é menor que \(i\); se for maior, é maior que \(i\).

Exemplo:
Empréstimo: R\$10.000; pagamentos: R\$6.000 (fim do 1.º ano) e R\$4.600 (fim do 2.º ano). Teste \(i=10\%\):
Valor futuro do empréstimo ao fim do 2.º ano: \(10.000(1{,}1)^2=12.100\).
Pagamentos acumulados ao fim do 2.º ano: \(6.000(1{,}1)=6.600\) e \(4.600\) (já no fim do 2.º ano), total \(6.600+4.600=11.200\).
Como \(12.100\neq11.200\), a taxa de 10% não é a correta; e, como os pagamentos acumulados são menores, a taxa real cobrada é menor que 10%.