Qual é a relação de recorrência para o saldo devedor S_n e sua solução em forma fechada para um empréstimo com taxa i por período e prestação R?

\(S_n=(1+i)S_{n-1}-R\)
\(S_n=(1+i)^nS_0-R\frac{(1+i)^n-1}{i}\)

Explicação:
O saldo após cada pagamento é o saldo anterior acrescido dos juros \((1+i)S_{n-1}\) menos a prestação \(R\).
Resolvendo a recorrência obtém-se a expressão fechada que combina o crescimento exponencial dos juros e a soma geométrica das prestações amortizadoras.

exemplo:
Considere \(S_0=5000\), \(i=0{,}02\) e \(R=200\).
Recorrência:
\(S_1=1{,}02\cdot5000-200=5100-200=4900\)
\(S_2=1{,}02\cdot4900-200=4998-200=4798\)
Fechada (para \(n=2\)):
\(S_2=1{,}02^2\cdot5000-200\frac{1{,}02^2-1}{0{,}02}\)
\(1{,}02^2=1{,}0404\Rightarrow 1{,}0404\cdot5000=5202\)
\(\frac{1{,}02^2-1}{0{,}02}=\frac{0{,}0404}{0{,}02}=2{,}02\Rightarrow 200\cdot2{,}02=404\)
\(S_2=5202-404=4798\) — coincide com a recorrência.