Como comparar os saldos devedor após k pagamentos entre os sistemas SAC e Price para juros positivos?

No SAC: \(SD_k=V\big(1-\tfrac{k}{n}\big)\). No Price: \(R=\dfrac{V}{a_{n|i}}\) com amortizações iniciais menores e crescentes; assim, para \(0SD_SAC < SD_Price para \(i>0\).


Explicação:
No SAC a amortização é constante \(A=\tfrac{V}{n}\), logo após \(k\) pagamentos o saldo é
\(SD_k=V-kA=V\big(1-\tfrac{k}{n}\big)\).
No Price a prestação é constante \(R=\dfrac{V}{a_{n|i}}\), onde \(a_{n|i}=\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}\).
As amortizações vêm de \(Am_j=R-i\cdot SD_{j-1}\), sendo pequenas no início e aumentando com o tempo; por isso, nos primeiros pagamentos o SAC reduz o saldo mais rapidamente que o Price.

Exemplo:
Se \(V=1000\), \(n=4\), \(i=0{,}05\):
\(a_{4|0{,}05}=\dfrac{1-(1{,}05)^{-4}}{0{,}05}\approx3{,}54596\) → \(R=\dfrac{1000}{3{,}54596}\approx281{,}99\).
No SAC: \(A=250\) → após 2 pagamentos \(SD_{SAC}=1000-2\cdot250=500\).
No Price:
1.º pagamento: juros \(=1000\cdot0{,}05=50\), \(Am_1=281{,}99-50=231{,}99\), \(SD_1=768{,}01\).
2.º pagamento: juros \(=768{,}01\cdot0{,}05=38{,}40\), \(Am_2=281{,}99-38{,}40=243{,}59\), \(SD_2\approx524{,}42\).
Logo, após 2 pagamentos \(SD_{SAC}=500

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Veja como foi cobrado:
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