Se (A_k) são mutuamente independentes, como se expressa \(P\!\big(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_k\big)\)?

P\!\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_k\right)=\prod_{k=1}^{\infty}P(A_k)
A independência mútua permite fatorar a probabilidade da interseção como o limite dos produtos finitos.

exemplo:
Considere lançamentos independentes de uma moeda justa, e \(A_k\) = "o k-ésimo lançamento dá cara", então \(P(A_k)=\tfrac{1}{2}\) para todo k.
Para n lançamentos: \(P\!\left(\bigcap_{k=1}^{n}A_k\right)=\prod_{k=1}^{n}\tfrac{1}{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}\).
Tomando o limite: \(P\!\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_k\right)=\lim_{n\to\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}=0\).