O que é uma distribuição assintótica e para que ela é usada?

É a distribuição limite de um estimador quando \(n\to\infty\), usada para aproximar a distribuição amostral finita em grandes amostras.

Descrita de forma prática, ela indica o comportamento limite da variabilidade do estimador, permitindo construir testes e intervalos de confiança via aproximações normais, desde que existam condições regulares e \(n\) seja grande.

Exemplo:
Considere uma amostra de Bernoulli com probabilidade \(p\). A proporção amostral \(\hat p=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\) satisfaz
\(\displaystyle \frac{\hat p-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}\xrightarrow{d}N(0,1)\),
portanto para grande \(n\), \(\hat p\approx N\big(p,\;p(1-p)/n\big)\).
Por exemplo, se \(p=0.3\) e \(n=100\), então \(\mathrm{sd}(\hat p)\approx\sqrt{0.3\cdot0.7/100}\approx0.0458\), o que permite construir um IC aproximado para \(p\).