Ao comparar médias de duas amostras independentes com tamanhos diferentes, quais testes aplicar conforme as variâncias sejam iguais ou diferentes?

Se as variâncias forem iguais, aplica-se o teste t padrão com variância agrupada; se forem diferentes, aplica-se o teste t de Welch; antes, pode‑se usar o teste F para checar igualdade de variâncias.

Explicação:

Use o teste F para comparar variâncias, com estatística \(F=\dfrac{s_1^2}{s_2^2}\).
Se assumir variâncias iguais, o t com variância agrupada tem estatística
\(s_p^2=\dfrac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}\),
\(t=\dfrac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}}\).
Se variâncias diferentes, use o t de Welch:
\(t=\dfrac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}}\), com graus de liberdade aproximados por
\(\nu\approx\dfrac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{s_1^4}{n_1^2(n_1-1)}+\dfrac{s_2^4}{n_2^2(n_2-1)}}\).

Exemplo:

Dois grupos independentes: \(n_1=12,\ \bar{x}_1=50,\ s_1=4\); \(n_2=20,\ \bar{x}_2=46,\ s_2=3.5\).
Calcule \(F=\dfrac{4^2}{3.5^2}=\dfrac{16}{12.25}=1.306\) (df1=11, df2=19).
Supondo que este \(F\) não seja significativo ao nível 5%, aceita‑se igualdade de variâncias e usa‑se o t com variância agrupada:
\(s_p^2=\dfrac{11\cdot16+19\cdot12.25}{30}=13.625,\ s_p=3.691\).
\(t=\dfrac{50-46}{3.691\sqrt{\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}}}=\dfrac{4}{1.347}=2.97\) com \(df=30\).
Comparando com \(t_{0.025,30}\approx2.042\), rejeita‑se \(H_0\), indicando médias diferentes.