Flashcard FC433493
Qual a fórmula fechada da recorrência \(a_n = 2a_{n-1} + 1\) com \(a_1 = 1\)?
Conjuntos
IBADE · 2022
Qual a fórmula fechada da recorrência \(a_n = 2a_{n-1} + 1\) com \(a_1 = 1\)?
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Resposta
a_n = 2^{n}-1Para obter, defina \(b_n=a_n+1\), então \(b_n=2b_{n-1}\) e \(b_1=2\), logo \(b_n=2^{n}\). Assim \(a_n=b_n-1=2^{n}-1\).
Exemplo:
Considere \(a_n=2a_{n-1}+1\) com \(a_1=2\). Então \(b_n=a_n+1\) tem \(b_1=3\) e \(b_n=3\cdot2^{\,n-1}\).
Logo \(a_n=3\cdot2^{\,n-1}-1\). Por exemplo, \(a_3=3\cdot2^{2}-1=12-1=11\).
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