Como calcular o total de dígitos necessários para numerar de 1 até um número n?

Somar, para cada quantidade de dígitos k, o número de inteiros com k dígitos até n multiplicado por k.

Explicação: para cada k≥1 calcule \(c_k=\max\{0,\min(n,10^k-1)-10^{k-1}+1\}\), depois some \( \sum_k c_k\cdot k\).

exemplo: numerar até 324

\(c_1=\min(324,9)-1+1=9\), contribui \(9\cdot1=9\).
\(c_2=\min(324,99)-10+1=90\), contribui \(90\cdot2=180\).
\(c_3=\min(324,999)-100+1=225\), contribui \(225\cdot3=675\).
\( \text{Total}=9\cdot1+90\cdot2+225\cdot3=864\).