Como usar congruências e o MMC para concluir que um mesmo termo é múltiplo de dois inteiros?

Usa-se congruências para alinhar um mesmo termo divisível por ambos e então aplica-se o MMC.

Se \(x\equiv r_1\pmod{m}\) e \(x\equiv r_2\pmod{n}\), procura-se um inteiro \(s\) tal que ambos deem \(x-s\equiv0\) nos dois módulos; assim \(x-s\) é divisível por \(m\) e por \(n\), logo por \(MMC(m,n)\).

Exemplo:
Suponha que \(y-2\) é múltiplo de 4 e \(y-6\) é múltiplo de 8.
Temos \(y-2\equiv0\pmod{4}\). Subtraindo 4, \(y-6=(y-2)-4\equiv0\pmod{4}\).
Também \(y-6\equiv0\pmod{8}\) por hipótese, portanto \(y-6\) é múltiplo de 4 e de 8, logo é múltiplo de \(MMC(4,8)=8\).
Tomando o menor múltiplo positivo, \(y-6=8\Rightarrow y=14\). Verificação: \(14-2=12\) é múltiplo de 4, e \(14-6=8\) é múltiplo de 8.