O produto de um número irracional por um número racional não nulo é sempre irracional?

Sim.

Explicação:
Se \(r\) é irracional e \(q\in\mathbb{Q}\), \(q\neq0\), suponha que \(qr\) seja racional. Então \(r=\dfrac{qr}{q}\) seria racional, contradição. Logo \(qr\) é irracional.

Exemplo: seja \(r=\sqrt{3}\) e \(q=\tfrac{5}{2}\). Então \(q\,r=\tfrac{5}{2}\sqrt{3}\). Se \(\tfrac{5}{2}\sqrt{3}\) fosse racional, dividir por \(\tfrac{5}{2}\) daria \(\sqrt{3}\) racional, impossível. Portanto \(\tfrac{5}{2}\sqrt{3}\) é irracional.