Como se representam duas partes de um inteiro que são diretamente proporcionais a dois números dados?

Resposta:
Escreve-se as partes como \(a=mk\) e \(b=nk\) com \(k>0\), e o inteiro é \(N=(m+n)k\).

Explicação:
Se duas partes são diretamente proporcionais a \(m\) e \(n\), então suas razões são iguais, por isso definimos \(a=mk\) e \(b=nk\) para alguma constante \(k\). Qualquer condição adicional envolvendo \(a\) e \(b\) permite substituir essas expressões e resolver para \(k\). Depois, obtém-se o inteiro total como \(N=(m+n)k\).

Exemplo:
Suponha partes proporcionais a \(3\) e \(7\), e que satisfaçam \(a+2b=85\).
Temos \(a=3k,\ b=7k\). Substituindo, \(3k+2(7k)=85\Rightarrow 17k=85\Rightarrow k=5\).
Logo \(N=(3+7)k=10\cdot5=50\).