Como montar e resolver uma equação diofantina para determinar quantidades de notas conhecendo os valores das cédulas e o total em dinheiro?

Forme a equação do valor total, simplifique, exija soluções inteiras positivas e resolva.

Explicação:
1. Seja \(x,y,\dots\) as quantidades das notas, escreva a equação do total em reais, por exemplo \(a x + b y + \dots = T\).
2. Se já souber algum montante em um tipo de nota, substitua e reduza a equação.
3. Simplifique dividindo por fatores comuns, imponha \(x,y,\dots\in\mathbb{Z}^+\) e busque soluções inteiras que atendam às restrições.

Exemplo prático:
Notas de R$5, R$10 e R$50, há R$15 em notas de R$5, total R$135.
Montagem: \(15+10x+50y=135\).
Simplificando: \(10x+50y=120\), dividindo por 10, \(x+5y=12\).
Impondo \(x\ge1,y\ge1\), testar valores inteiros para \(y\):
\(y=1\Rightarrow x=7\) (solução válida), total de notas = \(3\) notas de R$5 mais \(7\) de R$10 e \(1\) de R$50, total \(3+7+1=11\).
\(y=2\Rightarrow x=2\) (outra solução válida), total de notas \(3+2+2=7\).
Assim aplica-se o mesmo raciocínio do comentário para obter soluções inteiras que satisfaçam as condições.