Se duas médias ponderadas têm o mesmo denominador e pesos positivos, como se obtém a condição entre os pesos para que M2 > M1?

Compare apenas os numeradores: exigir que o numerador de M2 seja maior que o de M1.

Partindo de \(M_1=\dfrac{a p_1 + b p_2}{p_1+p_2}\) e \(M_2=\dfrac{c p_1 + d p_2}{p_1+p_2}\), temos \(M_2>M_1 \iff (c-a)p_1+(d-b)p_2>0\).

Exemplo:
Considere \(M_1=\dfrac{8p_1+6p_2}{p_1+p_2}\) e \(M_2=\dfrac{5p_1+9p_2}{p_1+p_2}\).
Condição: \((5-8)p_1+(9-6)p_2=-3p_1+3p_2>0 \iff p_2>p_1\).
Teste numérico: se \(p_1=1\) e \(p_2=1{,}5\), então \(M_1=\dfrac{8\cdot1+6\cdot1{,}5}{2{,}5}=6{,}8\) e \(M_2=\dfrac{5\cdot1+9\cdot1{,}5}{2{,}5}=7{,}4\), logo \(M_2>M_1\), a condição é satisfeita.