Como se calcula P(A) pelo Teorema da Probabilidade Total usando uma partição {B_i}?

Resposta

P(A)=\(\sum_i P(B_i)\,P(A\mid B_i)\)
onde as \({B_i}\) são mutuamente exclusivas e sua união é o espaço amostral.

Explicação:
Se os eventos \(B_i\) particionam o espaço, calcula-se \(P(A)\) somando, para cada \(i\), a probabilidade de escolher \(B_i\) e ocorrer \(A\) dado \(B_i\), isto é \(P(A)=\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i)\).
Calcule cada \(P(B_i)\) e cada \(P(A\mid B_i)\), multiplique e some os produtos.

Exemplo:
Dois fornecedores, A e B, fornecem peças: \(P(A)=0.6\), \(P(B)=0.4\).
Taxas de defeito: \(P(D\mid A)=0.02\), \(P(D\mid B)=0.05\).
Aplicando o teorema: \(P(D)=0.6\cdot0.02+0.4\cdot0.05\)
= \(0.012+0.02=0.032\).
Portanto, a probabilidade de uma peça ser defeituosa é \(3{,}2\%\).