Como calcular a probabilidade de obter quantidades especificadas por categoria ao selecionar k itens de uma população categorizada, quando a ordem não importa?

Usa-se o produto das combinações de cada categoria dividido por \(\binom{N}{k}\).

Explicação:
Se a população tem tamanho \(N\) e categorias com tamanhos \(n_1,n_2,\dots,n_m\), e se deseja selecionar \(k\) itens com contagens \(k_1,k_2,\dots,k_m\) tal que \(\sum_{i=1}^m k_i=k\), então o número de casos favoráveis é \(\prod_{i=1}^m \binom{n_i}{k_i}\).
O número total de seleções sem ordem é \(\binom{N}{k}\).
A probabilidade é \( \displaystyle \frac{\prod_{i=1}^m \binom{n_i}{k_i}}{\binom{N}{k}}.\)

Exemplo:
Temos 10 itens vermelhos, 5 azuis e 7 verdes, escolhemos 5 itens e queremos exatamente 2 vermelhos, 1 azul e 2 verdes.
Favoráveis: \(\binom{10}{2}\binom{5}{1}\binom{7}{2}=45\cdot5\cdot21=4725\).
Total: \(\binom{22}{5}=26334\).
Probabilidade \(= \dfrac{4725}{26334}\approx 0.1794\).