Quais propriedades uma função deve satisfazer para ser chamada de função densidade de probabilidade?

Contínua, não negativa e com integral sobre todo o espaço igual a 1.

Explicação, uma função densidade deve ser não negativa em todo o domínio, deve ser contínua no contexto típico de distribuições contínuas e sua integral sobre ℝ deve ser 1, garantindo soma total das probabilidades igual a 100%

Exemplo:
Considere \(f(x)=\begin{cases}2x, & 0\le x\le1\\[4pt]0, & \text{caso contrário}\end{cases}\)
Temos que \(f(x)\ge0\) em todo o domínio, \(f\) é contínua em ℝ, e
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=\int_{0}^{1}2x\,dx=\big[x^{2}\big]_{0}^{1}=1\), portanto \(f\) é uma função densidade de probabilidade válida.