Qual é a função de distribuição acumulada do máximo de uma amostra iid de tamanho n, em termos da FDC comum F(y)?

Resposta

\(F_{X_{(n)}}(y) = [F(y)]^n\)

O evento \(X_{(n)}\le y\) ocorre quando todos os \(X_i\le y\), pela independência multiplicam‑se as probabilidades, cada uma igual a \(F(y)\), portanto obtém‑se \([F(y)]^n\).

Exemplo: amostra de tamanho \(n=3\) de v.a. exponenciais com parâmetro \(\lambda\), cuja FDC é \(F(y)=1-e^{-\lambda y}\) para \(y\ge0\).
Então \(F_{X_{(3)}}(y)=(1-e^{-\lambda y})^3\).
Por exemplo, para \(\lambda=1\) e \(y=2\), \(P(X_{(3)}\le2)=(1-e^{-2})^3\approx(1-0{.}1353)^3\approx0{.}646\).