Como se deduz a Desigualdade de Tchebychev aplicando a Desigualdade de Markov, e qual variável não negativa deve ser usada?

Pela Markov: aplicando-a à variável não negativa \(Y=(X-c)^2\) obtém-se \(P(|X-c|\ge\varepsilon)=P(Y\ge\varepsilon^2)\le\frac{E[(X-c)^2]}{\varepsilon^2}.\)

Explicação:
É preciso que \(E[(X-c)^2]<\infty\) e \(\varepsilon>0\). Tomando \(Y=(X-c)^2\ge0\), aplica-se a desigualdade de Markov: \(P(Y\ge t)\le E[Y]/t\) com \(t=\varepsilon^2\), daí surge a forma de Tchebychev acima.

Exemplo:
Considere um dado justo \(X\in\{1,\dots,6\}\), escolha \(c=4\). Tem-se \(E[X]=3.5\), \(\operatorname{Var}(X)=35/12\), então
\(E[(X-4)^2]=\operatorname{Var}(X)+(E[X]-4)^2=\frac{35}{12}+0.25=\frac{19}{6}.\)
Para \(\varepsilon=2\), a desigualdade de Tchebychev dá
\(P(|X-4|\ge2)\le\frac{19/6}{4}=\frac{19}{24}\approx0.792.\)
Na prática, \(P(|X-4|\ge2)=P(X\in\{1,2,6\})=3/6=0.5\), logo a cota se confirma.