Flashcard FC451319
Se \(X_1,\dots,X_k\) são independentes \(N(0,1)\), qual é a distribuição de \(Y=\sum_{i=1}^k X_i^2\)?
Principais Distribuições Contínuas
Instituto Verbena · 2024
Se \(X_1,\dots,X_k\) são independentes \(N(0,1)\), qual é a distribuição de \(Y=\sum_{i=1}^k X_i^2\)?
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Resposta
Qui-quadrado com \(k\) graus de liberdade.Se \(X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}N(0,1)\), então \(Y=\sum_{i=1}^k X_i^2\sim\chi^2(k)\).
A densidade é \(f(y)=\dfrac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,y^{k/2-1}e^{-y/2}\), para \(y>0\).
Exemplo:
Considere \(k=3\). Então \(Y=X_1^2+X_2^2+X_3^2\sim\chi^2(3)\) e
\(f(y)=\dfrac{1}{2^{3/2}\Gamma(3/2)}\,y^{1/2}e^{-y/2},\;y>0\).
Se observarmos \(X_1=0.7,\;X_2=-0.4,\;X_3=1.1\), então \(Y=0.7^2+(-0.4)^2+1.1^2=1.86\), valor não negativo coerente com a distribuição qui-quadrado, que apresenta assimetria à direita.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/450051
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