Como se obtém o valor esperado E[X] a partir da função geradora de momentos M_X(t)?

E[X] = M'_X(0)

Explicação: Derive a função geradora de momentos em relação a t e avalie em t=0, o resultado é o primeiro momento, a média.

exemplo: Considere X ~ Poisson(λ), com \(M_X(t)=\exp\!\big(\lambda(e^{t}-1)\big)\).
Derivando, \(M'_X(t)=\lambda e^{t}\exp\!\big(\lambda(e^{t}-1)\big)\).
Avaliando em t=0, \(M'_X(0)=\lambda e^{0}\exp(0)=\lambda\).
Logo, \(E[X]=\lambda\).