Flashcard FC451322
Qual o valor de E(E(X|Y)) em termos de E(X)?
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
Instituto Verbena · 2024
Qual o valor de E(E(X|Y)) em termos de E(X)?
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Resposta
E(X)Pela Lei da Expectativa Total, \(E(E(X\mid Y))=\sum_j E(X\mid Y=y_j)P(Y=y_j)\).
Usando \(E(X\mid Y=y_j)=\sum_i x_i\,P(X=x_i\mid Y=y_j)\) e \(P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i\mid Y=y_j)P(Y=y_j)\), obtém-se
\(E(E(X\mid Y))=\sum_j\sum_i x_i\,P(X=x_i,Y=y_j)=\sum_i x_i\,P(X=x_i)=E(X)\).
Exemplo:
Considere \(Y\in\{A,B\}\) com \(P(Y=A)=0.4,\;P(Y=B)=0.6\).
Se \(P(X=1\mid Y=A)=0.25,\;P(X=1\mid Y=B)=0.75\), então
\(E(X\mid Y=A)=0.25,\;E(X\mid Y=B)=0.75\).
Logo \(E(E(X\mid Y))=0.25\cdot0.4+0.75\cdot0.6=0.55\).
Calcule o marginal de \(X\): \(P(X=1)=0.4\cdot0.25+0.6\cdot0.75=0.55\), portanto \(E(X)=0.55\), coincide com \(E(E(X\mid Y))\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/450054
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