Flashcard FC451330
Seja \(\hat{\theta}\) o estimador de máxima verossimilhança para \(\theta\) e \(g\) uma função monótona. Qual é o estimador de máxima verossimilhança para \(g(\theta)\)?
Característica dos Estimadores
Instituto Verbena · 2023
Seja \(\hat{\theta}\) o estimador de máxima verossimilhança para \(\theta\) e \(g\) uma função monótona. Qual é o estimador de máxima verossimilhança para \(g(\theta)\)?
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Resposta
g(\hat{\theta})Explicação:
Se \(\hat{\theta}=\arg\max_\theta L(\theta)\) e definimos \(\phi=g(\theta)\), como \(g\) é monótona existe \(g^{-1}\) na imagem, então \(L^*(\phi)=L(g^{-1}(\phi))\) e o máximo ocorre em \(\phî=g(\hat{\theta})\).
Exemplo:
Considere \(X_1,\dots,X_n\) iid \(N(\mu,\sigma^2)\) com \(\sigma^2\) conhecido. O EMV de \(\mu\) é \(\hat{\mu}=\bar X\). Para \(g(\mu)=e^{\mu}\) o EMV é
\(\widehat{e^{\mu}}=e^{\hat{\mu}}=e^{\bar X}\).
Em fórmulas: \( \hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i,\) então \( \widehat{e^{\mu}}=e^{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i}.\)
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