Quais são os estimadores de máxima verossimilhança para μ e σ^2 em uma amostra de uma normal com ambos desconhecidos?

\(\hat{\mu}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\), \(\hat{\sigma}^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2\)

Explicação:
A verossimilhança é maximizada pela média amostral para μ, e pela soma dos quadrados dos desvios em relação à média dividida por n para σ^2, na derivação conjunta dos parâmetros. O estimador de σ^2 é consistente e assintoticamente normal, porém apresenta viés em amostras finitas (o estimador não viesado usa divisão por n−1).

Exemplo:
Suponha a amostra {3,5,6,8}, então n=4 e
\(\bar{x}=\dfrac{3+5+6+8}{4}=\dfrac{22}{4}=5{,}5\)
Calcule os desvios ao quadrado: \((3-5{,}5)^2=6{,}25,\ (5-5{,}5)^2=0{,}25,\ (6-5{,}5)^2=0{,}25,\ (8-5{,}5)^2=6{,}25\)
Soma = \(13\), assim o estimador de máxima verossimilhança da variância é
\(\hat{\sigma}^2=\dfrac{13}{4}=3{,}25\)
O estimador não viesado seria \(\dfrac{13}{3}\approx4{,}333\).