Flashcard FC451348
Qual é a expressão do estimador de mínimos quadrados ordinários e que condição sobre X garante sua existência?
Regressão
Instituto Verbena · 2024
Qual é a expressão do estimador de mínimos quadrados ordinários e que condição sobre X garante sua existência?
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Resposta
\(\hat{\beta}=(X^\prime X)^{-1}X^\prime Y\); existe se \(X^\prime X\) for invertível, ou seja, se as colunas de X são linearmente independentes.Explicação:
O estimador resulta da minimização de \(S(\beta)=(Y-X\beta)^\prime(Y-X\beta)\), levando às equações normais \(X^\prime X\,\beta=X^\prime Y\).
Se \(X^\prime X\) é invertível, resolve-se para \(\beta\) obtendo \(\hat\beta=(X^\prime X)^{-1}X^\prime Y\).
Com \(E(\varepsilon)=0\), tem-se \(E(\hat\beta)=\beta\), e os resíduos satisfazem \(X^\prime(Y-X\hat\beta)=0\).
exemplo:
Considere \(X=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\\1&3\end{pmatrix}\), \(Y=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\).
\(X^\prime X=\begin{pmatrix}3&6\\6&14\end{pmatrix},\;X^\prime Y=\begin{pmatrix}11\\26\end{pmatrix}.\)
\((X^\prime X)^{-1}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}14&-6\\-6&3\end{pmatrix}.\)
\(\hat\beta=(X^\prime X)^{-1}X^\prime Y=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{3}\\[4pt]2\end{pmatrix}\), portanto \(\hat\beta_0=-\tfrac{1}{3},\;\hat\beta_1=2\).
Veja como foi cobrado:
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