Qual estimador pontual minimiza o risco posterior esperado sob a função de perda quadrática?

A média a posteriori, \(E[\theta\mid \text{dados}]\).

Com \(L(\theta,a)=(a-\theta)^2\) temos \(R(a)=E[(a-\theta)^2\mid \text{dados}]\). Pela identidade de decomposição,
\(E[(a-\theta)^2\mid \text{dados}]=(a-E[\theta\mid \text{dados}])^2+\mathrm{Var}(\theta\mid \text{dados})\),
somente o primeiro termo depende de \(a\), logo o mínimo ocorre em \(a=E[\theta\mid \text{dados}]\).

Exemplo:
Suponha prior \(\mathrm{Beta}(2,3)\) e observamos \(x=6\) sucessos em \(n=10\). A posteriori é \(\mathrm{Beta}(2+6,3+4)=\mathrm{Beta}(8,7)\).
Assim a média a posteriori é \(E[\theta\mid \text{dados}]=\dfrac{8}{8+7}=\dfrac{8}{15}\approx0{,}533\), esse é o estimador Bayesiano sob perda quadrática.