Qual tipo de convergência o Teorema Central do Limite garante para médias amostrais normalizadas?

Convergência em distribuição.

Explicação:
A função de distribuição acumulada da média amostral, devidamente normalizada, converge para a função de distribuição da normal padrão em pontos de continuidade. Formalmente, para \(X_1,\dots,X_n\) i.i.d. com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\),
\(\dfrac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\xrightarrow{d}N(0,1)\).
Exemplo:
Se \(X_i\) são i.i.d. Exponencial(\(\lambda\)), então \(\mu=1/\lambda\) e \(\sigma=1/\lambda\), e
\(\dfrac{\overline{X}_n-1/\lambda}{(1/\lambda)/\sqrt{n}}\xrightarrow{d}N(0,1)\).
Para \(\lambda=2\) (logo \(\mu=0.5,\sigma=0.5\)) e \(n=30\), por exemplo,
\(P\!\left(\dfrac{\overline{X}_{30}-0.5}{0.5/\sqrt{30}}\le 1.96\right)\approx 0.975\), mostrando a aproximação normal prática para a média amostral.