Como, a partir das fatorações em primos de dois inteiros, se determina se o quociente MDC/MMC tem representação decimal finita ou periódica?

Calcule o MDC usando expoentes mínimos e o MMC usando expoentes máximos; forme e reduza a fração \( \dfrac{MDC}{MMC} \). Se o denominador reduzido tiver apenas fatores primos 2 e 5, a representação decimal termina, caso contrário é periódica.

Explicação e exemplo:
Passos: calcular \(MDC\) com os menores expoentes, calcular \(MMC\) com os maiores expoentes, simplificar a fração, analisar os fatores do denominador reduzido.

Exemplo:
Sejam \(a=2^4\cdot3^1\cdot7^2\) e \(b=2^2\cdot3^3\cdot5^1\).
\(MDC=2^{\min(4,2)}\cdot3^{\min(1,3)}\cdot5^{\min(0,1)}\cdot7^{\min(2,0)}=2^2\cdot3=12\).
\(MMC=2^{\max(4,2)}\cdot3^{\max(1,3)}\cdot5^{\max(0,1)}\cdot7^{\max(2,0)}=2^4\cdot3^3\cdot5\cdot7^2\).
A fração é \( \dfrac{12}{2^4\cdot3^3\cdot5\cdot7^2} \). Simplificando os fatores comuns, o denominador reduzido fica \(2^{2}\cdot3^{2}\cdot5\cdot7^{2}\), que contém os primos 3 e 7 além de 2 e 5.
Como o denominador reduzido não é composto apenas por 2 e 5, a representação decimal é periódica.