Em \( \mathbb{Z}_n\) sob adição, qual condição sobre \(a\) garante que \(\overline{a}\) seja gerador do grupo?

\(\gcd(a,n)=1\)

Explicação: Em \(\mathbb{Z}_n\) a ordem de \(\overline{a}\) é \( \dfrac{n}{\gcd(a,n)}\), portanto \(\overline{a}\) tem ordem \(n\) exatamente quando \(\gcd(a,n)=1\), logo é gerador do grupo.

Exemplo: Em \(\mathbb{Z}_{10}\), com \(a=3\), temos \(\gcd(3,10)=1\).
\(1\cdot\overline{3}=\overline{3},\;2\cdot\overline{3}=\overline{6},\;3\cdot\overline{3}=\overline{9},\;4\cdot\overline{3}=\overline{12}=\overline{2},\;5\cdot\overline{3}=\overline{15}=\overline{5},\)
\(6\cdot\overline{3}=\overline{18}=\overline{8},\;7\cdot\overline{3}=\overline{21}=\overline{1},\;8\cdot\overline{3}=\overline{24}=\overline{4},\;9\cdot\overline{3}=\overline{27}=\overline{7},\;10\cdot\overline{3}=\overline{30}=\overline{0}.\)