Como se calcula a soma de todos os divisores positivos de um número a partir da sua fatoração em números primos?

Multiplica-se, para cada fator primo \(p^a\) da fatoração, a soma geométrica \(1+p+\dots+p^a=\dfrac{p^{a+1}-1}{p-1}\), e toma-se o produto desses termos.

Explicação: ao fatorar \(n=\prod p_i^{a_i}\), a função soma dos divisores é multiplicativa para primos distintos, portanto
\( \sigma(n)=\prod_{i}\dfrac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}\).
Isso vem da soma das potências de cada primo e das combinações entre fatores distintos.

Exemplo: seja \(n=84\).
Fatoração: \(84=2^2\cdot3^1\cdot7^1\).
Para \(2^2\): \(\dfrac{2^{3}-1}{2-1}=7\).
Para \(3^1\): \(\dfrac{3^{2}-1}{3-1}=4\).
Para \(7^1\): \(\dfrac{7^{2}-1}{7-1}=8\).
Produto: \(7\times4\times8=224\). Logo a soma dos divisores positivos de 84 é \(224\).