Como determinar os expoentes na fatoração prima de um inteiro sabendo que apenas certos primos o dividem, que algumas potências desses primos não o dividem, e que um número com fat

Obtenha expoentes mínimos do divisor conhecido e máximos das potências que não dividem, combine-os para fixar cada expoente.

Para cada primo p, se o divisor dado contém \(p^s\), então o expoente de p em m é \(\ge s\).
Se uma potência \(p^r\) não divide m, então o expoente de p em m é \(\le r-1\).
O expoente real deve satisfazer ambas as restrições; quando os limites coincidem, o expoente fica determinado.

Exemplo:
Suponha que apenas os primos 2, 5 e 7 dividem um número \(n\).
Se \(4=2^2\) não divide \(n\), então o expoente de 2 é \(\le1\).
Se \(25=5^2\) não divide \(n\), então o expoente de 5 é \(\le1\).
Se \(49=7^2\) não divide \(n\), então o expoente de 7 é \(\le1\).
Se \(70=2\cdot5\cdot7\) divide \(n\), então os expoentes são \(\ge1\) para cada primo.
Combinando, cada expoente é exatamente 1, logo \(n=2^1\times5^1\times7^1=\;\(2\cdot5\cdot7\)=70\).