Como a prova por contradição usando argumento de divisibilidade demonstra que a raiz quadrada de um inteiro não quadrado é irracional?

Assume-se que existe uma fração irreduzível \( \frac{p}{q} \) com \(p,q\in\mathbb{Z}\) que representa a raiz, ao quadrar obtém-se uma igualdade que força um mesmo primo a dividir \(p\) e \(q\), contradizendo a irredutibilidade.

Explicação e exemplo:
Suponha, por contradição, que \( \sqrt{3}=\frac{p}{q} \) com \(\gcd(p,q)=1\). Elevando ao quadrado, \(p^2=3q^2\). Assim, 3 divide \(p^2\), logo 3 divide \(p\), escreva \(p=3k\). Substituindo, \(9k^2=3q^2\), daí \(q^2=3k^2\), então 3 divide \(q\). Conclui-se que 3 divide tanto \(p\) quanto \(q\), contradizendo \(\gcd(p,q)=1\). Portanto \(\sqrt{3}\) é irracional.

exemplo:
\( \text{Suponha } \sqrt{3}=\frac{p}{q},\ p,q\in\mathbb{Z},\ \gcd(p,q)=1.\)
\(p^2=3q^2 \Rightarrow 3\mid p \Rightarrow p=3k.\)
\(9k^2=3q^2 \Rightarrow q^2=3k^2 \Rightarrow 3\mid q,\) contradizendo \(\gcd(p,q)=1\). Logo \(\sqrt{3}\) não é racional.