Flashcard FC451508
Como se usa o truncamento de uma série e a estimativa do resto para provar que um número dado por uma soma infinita é irracional?
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Instituto Verbena · 2024
Como se usa o truncamento de uma série e a estimativa do resto para provar que um número dado por uma soma infinita é irracional?
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Resposta
Trunca-se a soma até um índice ligado ao denominador presumido, multiplica-se por um múltiplo inteiro desse denominador para tornar a parte truncada inteira, e mostra-se que o resto é positivo e estritamente menor que 1, provocando contradição.Explicação:
Suponha, por absurdo, que a soma infinita seja racional \(p/q\). Corte a série em um termo associado a \(q\), multiplique por um inteiro apropriado (por exemplo \(q!\) ou uma potência) para que os termos até o corte sejam inteiros. O restante da soma fica positivo e pode ser estimado por uma série geométrica cuja soma é menor que 1, logo o produto seria um inteiro mais uma fração em \((0,1)\), contradizendo ser inteiro.
Exemplo:
Considere a constante de Liouville \(L=\sum_{n=1}^{\infty}10^{-n!}\). Suponha \(L=\dfrac{p}{q}\). Tome \(Q=10^{q!}\). Então
\(QL=\sum_{n=1}^{q}10^{\,q!-n!} \;+\; \sum_{n=q+1}^{\infty}10^{\,q!-n!}.\)
Os termos da primeira soma são inteiros, logo essa soma é um inteiro. O resto
\(R=\sum_{n=q+1}^{\infty}10^{\,q!-n!}\)
satisfaça \(0 Assim \(QL\) seria um inteiro mais uma fração em \((0,1)\), contradizendo \(QL\) inteiro. Logo \(L\) é irracional.
Veja como foi cobrado:
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