Por que √m é irracional quando m é inteiro positivo e não é quadrado perfeito?

Porque assumir que é razão de inteiros leva a contradição, mostrando que os termos teriam um divisor comum.

Explicação:
Suponha √m = p/q em forma irredutível, com p,q inteiros e q≠0.
Elevando ao quadrado vem \(m q^2 = p^2\).
Se algum primo r aparece com expoente ímpar na fatoração de m, então r divide \(p^2\), logo divide p, escrevendo \(p = r k\). Substituindo obtém-se \(q^2 = r \cdot(\text{inteiro})\), então r divide q também, contradizendo a irredutibilidade.
Portanto √m não pode ser razão de inteiros, é irracional.

Exemplo:
Assuma \(\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}\) em forma irredutível.
Então \(2q^2=p^2\). Assim p^2 é par, então p é par, escreva \(p=2k\).
Substituindo, \(2q^2=(2k)^2=4k^2\), logo \(q^2=2k^2\), então q é par.
Ambos p e q são pares, contradizendo a irredutibilidade. Portanto \(\sqrt{2}\) é irracional.