Como provar que um número é irracional?

Mostrar que não pode ser escrito como razão de inteiros, normalmente por contradição assumindo \(\tfrac{p}{q}\) em forma irredutível.

Explicação, suponha que o número seja racional, escreva-o como \(\tfrac{p}{q}\) com \(p,q\) inteiros coprimos, derive uma propriedade que force um divisor comum não trivial em \(p\) e \(q\), isso contradiz a coprimeza, então o número é irracional.

exemplo:
Provar que \(\sqrt{3}\) é irracional:
\( \)Assuma \(\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}\), com \(p,q\) inteiros coprimos e \(q\neq0\).
\( \)Então \(3q^{2}=p^{2}\). Assim \(3\) divide \(p^{2}\), logo \(3\) divide \(p\), escreva \(p=3k\).
\( \)Substituindo, \(3q^{2}=9k^{2}\), logo \(q^{2}=3k^{2}\), portanto \(3\) divide \(q\).
\( \)Isso contradiz que \(p\) e \(q\) são coprimos, logo \(\sqrt{3}\) não é razão de inteiros, é irracional.