Como determinar se a raiz quadrada de um decimal é racional e quando uma divisão de decimais é um inteiro?

Se o radicando for um quadrado perfeito racional, a raiz é racional.
Uma divisão de decimais é inteira quando o quociente não tem parte fracionária.

Explicação completa:
Se um número decimal é o quadrado exato de outro número racional, sua raiz quadrada é racional, por exemplo decimais com representação finita que correspondem a frações cujos numeradores e denominadores são quadrados adequados.
Na divisão, ao dividir dois decimais finitos, o resultado é racional; será inteiro quando a divisão resultar em número sem resto, ou seja, quando o numerador for múltiplo do denominador após eliminar as casas decimais.

Exemplo:
Raiz: \( \sqrt{2{,}25}=1{,}5=\tfrac{3}{2}\), portanto racional.
Divisão: \( \dfrac{1{,}2}{0{,}6}=2\), portanto inteiro.