Como emparelhar termos com \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) para simplificar \(\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}\)?

Emparelhando termos simétricos, obtém-se \(\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}=2^n-1\).

Usar \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\), agrupar cada par \(k\) e \(n-k\) torna a soma duas vezes a soma de um lado, somar o termo central se houver, ou aplicar o teorema binomial \((1+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^n\) e subtrair \(\binom{n}{0}=1\).

Exemplo:
Para \(n=5\): \(\sum_{k=1}^5 \binom{5}{k}=\binom{5}{1}+\binom{5}{2}+\binom{5}{3}+\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=5+10+10+5+1=31\), e \(2^5-1=31\).