Como calcular o número de arranjos quando alguns itens pertencem a blocos fixos e outros podem ser divididos entre dois blocos com capacidades definidas?

Resposta

Multiplica-se as permutações internas de cada bloco; para os itens que podem ir a dois blocos, ordena-se todos nas posições desses blocos e conta-se suas permutações, por fim multiplica-se tudo.

Cada bloco que tem seus elementos restritos contribui com k! ordenações se tiver k elementos. Para os elementos que podem ser distribuídos entre dois blocos com capacidades r e s, sendo n = r + s, ordena-se os n elementos em sequência, as primeiras r posições pertencem a um bloco e as últimas s ao outro, totalizando n! possibilidades. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total é o produto das contagens independentes.

Exemplo:
Suponha 5 itens sempre no bloco A, 3 itens sempre no bloco D, e 6 itens que serão divididos entre os blocos B e C, com 3 em cada. O total de arranjos é
\(5!\cdot 3!\cdot 6!\).
Calculando, \(5!=120\), \(3!=6\), \(6!=720\), então o total é \(120\cdot 6\cdot 720=518400\).