Como minimizar a soma de n inteiros positivos distribuídos em n recipientes quando cada recipiente tem pelo menos 1 e no máximo k recipientes podem ter o mesmo valor?

Dar o menor valor permitido às k iguais, e aos outros n-k atribuir os menores inteiros positivos distintos maiores que esse valor.

Coloque o menor valor possível, \(b\) (normalmente \(1\)), em exatamente \(k\) recipientes, aos restantes \(n-k\) atribua \(b+1,b+2,\dots,b+(n-k)\). Assim a soma mínima é \(S_{\min}=n b+\displaystyle\frac{(n-k)(n-k+1)}{2}\). Para \(b=1\), \(S_{\min}=n+\dfrac{(n-k)(n-k+1)}{2}\).

Exemplo: tome \(n=7\), \(k=3\), \(b=1\). Atribua \(1,1,1\) e \(2,3,4,5\).
Soma: \(3\cdot1+(2+3+4+5)=3+14=17\).