Ao definir \(c=\dfrac{a}{b}\) para dois números positivos em razão áurea, qual equação quadrática satisfaz \(c\)?

c^2 - c - 1 = 0, com solução positiva \(c=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\).

Derivação:
Partindo de \(\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{a}{b}\) e \(c=\dfrac{a}{b}\), temos \(1+\dfrac{b}{a}=c\). Como \(\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{c}\), segue \(1+\dfrac{1}{c}=c\).
Multiplicando por \(c\) obtém-se \(c^2-c-1=0\), então \(c=\dfrac{1\pm\sqrt5}{2}\) e, por \(c>0\), \(c=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\).

Exemplo:
Se \(b=3\), então \(c\approx1.618\) e \(a=c\cdot b\approx4.854\).
Verifique: \(\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{4.854+3}{4.854}\approx1.618\) e \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{4.854}{3}\approx1.618\), logo coincidem.