Flashcard FC451909
Como determinar a razão r de uma PA a partir do primeiro termo a₁ e da soma S_n dos n primeiros termos?
Progressão Aritmética
Instituto Verbena · 2024
Como determinar a razão r de uma PA a partir do primeiro termo a₁ e da soma S_n dos n primeiros termos?
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Resposta
Calcule primeiro \(a_n=\dfrac{2S_n}{n}-a_1\) e depois \(r=\dfrac{a_n-a_1}{n-1}\).Explicação:
Partindo da fórmula da soma, \(S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\), isolamos \(a_n\): \(a_n=\dfrac{2S_n}{n}-a_1\).
Usando o termo geral \(a_n=a_1+(n-1)r\), isolamos \(r\): \(r=\dfrac{a_n-a_1}{n-1}\).
Combinando as duas expressões, obtém-se
\(r=\dfrac{\dfrac{2S_n}{n}-2a_1}{\,n-1\,}=\dfrac{2S_n-2a_1n}{n(n-1)}\).
Exemplo:
Se \(a_1=5\) e \(S_{10}=350\):
\(a_{10}=\dfrac{2\cdot350}{10}-5=\dfrac{700}{10}-5=70-5=65\).
Então \(r=\dfrac{65-5}{9}=\dfrac{60}{9}=\dfrac{20}{3}\).
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Veja como foi cobrado:
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