Como determinar a razão r de uma progressão aritmética conhecendo o primeiro termo a_1, o número de termos n e a soma S_n?

\(r=\dfrac{\frac{2S_n}{n}-2a_1}{\,n-1\,}\)

Usa-se \(S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\) e \(a_n=a_1+(n-1)r\).
Substituindo, obtém-se \( \dfrac{2S_n}{n}=2a_1+(n-1)r\).
Isolando r, vem \( (n-1)r=\dfrac{2S_n}{n}-2a_1\) e portanto \( r=\dfrac{\frac{2S_n}{n}-2a_1}{n-1}\).

Exemplo:
Se \(a_1=5\), \(n=8\) e \(S_8=152\):
\(a_n=\dfrac{2S_8}{n}-a_1=\dfrac{2\cdot152}{8}-5=38-5=33\).
\(r=\dfrac{a_n-a_1}{n-1}=\dfrac{33-5}{7}=4\).
Ou diretamente \(r=\dfrac{\frac{2\cdot152}{8}-2\cdot5}{7}=\dfrac{38-10}{7}=4\).