Flashcard FC451923
Como usar a média dos primeiros termos de uma PA para montar equações que permitam encontrar a₁ e r?
Progressão Aritmética
Instituto Verbena · 2023
Como usar a média dos primeiros termos de uma PA para montar equações que permitam encontrar a₁ e r?
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Resposta
Usa-se \(S_n=n\cdot\text{média}= \dfrac{n}{2}(a_1+a_n)\) e \(a_n=a_1+(n-1)r\) para obter um sistema linear em \(a_1\) e \(r\).Explicação completa:
A média dos primeiros \(p\) termos dá \(S_p=p\cdot M_p\) e pela soma da PA, \(S_p=\dfrac{p}{2}(a_1+a_p)\), logo \(a_1+a_p=2M_p\).
De modo análogo, para \(q\) termos, \(a_1+a_q=2M_q\).
Substituindo \(a_p=a_1+(p-1)r\) e \(a_q=a_1+(q-1)r\) obtém-se um sistema linear em \(a_1\) e \(r\), subtrai-se as equações para achar \(r\), depois volta-se para achar \(a_1\).
Exemplo:
Se a média dos 4 primeiros termos é 10 e a média dos 10 primeiros é 16, então
\(S_4=4\cdot10=40,\quad S_{10}=10\cdot16=160\).
Pela soma, \(a_1+a_4= \dfrac{2S_4}{4}=20\) e \(a_1+a_{10}=\dfrac{2S_{10}}{10}=32\).
Com \(a_4=a_1+3r\) e \(a_{10}=a_1+9r\):
\(2a_1+3r=20\) e \(2a_1+9r=32\).
Subtraindo, \(6r=12\Rightarrow r=2\).
Então \(2a_1+3\cdot2=20\Rightarrow a_1=7\).
Por exemplo, o 7.º termo é \(a_7=a_1+6r=7+12=19\).
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Veja como foi cobrado:
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