Se os lados de quadrados formam uma PG de razão q, qual é a razão da PG das áreas e como se calcula a soma infinita das áreas quando |q|<1?

A razão das áreas é \(q^2\) e, se \(|q|<1\), a soma infinita é \(S=\dfrac{a_1}{1-q^2}\) com \(a_1=(\text{lado}_1)^2\).

Exemplo:
Considere \(l=6\) e \(q=\tfrac{1}{3}\).
Razão das áreas \(=\left(\tfrac{1}{3}\right)^2=\tfrac{1}{9}\).
Primeiro termo \(a_1=6^2=36\).
Soma infinita \(S=\dfrac{36}{1-\tfrac{1}{9}}=\dfrac{36}{\tfrac{8}{9}}=36\cdot\dfrac{9}{8}=\dfrac{324}{8}=\dfrac{81}{2}=40{,}5\).