Como calcular o primeiro termo de uma progressão geométrica sabendo a soma dos n primeiros termos, a razão e n?

Usa-se a fórmula da soma e isola-se \(a_1\):
\(a_1=\dfrac{S_n\,(q-1)}{q^n-1}\).

Explicação
A soma dos n primeiros termos de uma PG é \(S_n=\dfrac{a_1\,(q^n-1)}{q-1}\), isolando \(a_1\) obtemos a fórmula acima, basta substituir os valores conhecidos de \(S_n\), \(q\) e \(n\) e calcular.

Exemplo:
Dado \(S_4=200\) e \(q=3\), encontrar \(a_1\).
Usando \(a_1=\dfrac{S_n\,(q-1)}{q^n-1}\), temos
\(a_1=\dfrac{200(3-1)}{3^4-1}=\dfrac{400}{81-1}=\dfrac{400}{80}=5\).