Qual condição sobre o discriminante de uma equação quadrática garante que duas curvas tenham exatamente um ponto de interseção?

O discriminante deve ser zero, \(\Delta=0\).

Explicação:
Ao igualar duas funções formando uma equação quadrática \(ax^2+bx+c=0\), ter exatamente um ponto de interseção significa que as raízes são coincidentes, portanto o discriminante deve obedecer \(\Delta=b^2-4ac=0\).

Exemplo:
Considere \(f(x)=x^2-4x+3\) e \(g(x)=kx+1\). Igualando, obtemos
\(x^2-4x+3=kx+1\) \que vira \\(x^2-(4+k)x+2=0\). Aqui \(a=1\), \(b=-(4+k)\), \(c=2\). Calcule o discriminante:
\(\Delta=(4+k)^2-4\cdot1\cdot2=(k+4)^2-8\). Impor \(\Delta=0\) dá
\((k+4)^2=8\Rightarrow k+4=\pm2\sqrt{2}\Rightarrow k=-4\pm2\sqrt{2}\).
Assim os valores de \(k\) que garantem uma única interseção são \(k=-4+2\sqrt{2}\) e \(k=-4-2\sqrt{2}\).