Qual condição sobre o discriminante da equação obtida ao igualar duas funções quadráticas garante que os gráficos se toquem em exatamente um ponto?

Resposta

O discriminante deve ser zero.

Ao igualar duas funções quadráticas obtém-se uma equação quadrática em \(x\). Se o discriminante dessa equação, \(\Delta=b^{2}-4ac\), for zero, a equação tem uma única raiz real, o que implica que os gráficos das funções se tocam em um único ponto, sendo tangentes entre si.

Se \(f(x)=x^{2}\) e \(g(x)=5x^{2}+4x+1\), igualando: \(x^{2}=5x^{2}+4x+1\Rightarrow -4x^{2}-4x-1=0\). Multiplicando por \(-1\), \(4x^{2}+4x+1=0\).
O discriminante é \(\Delta=4^{2}-4\cdot4\cdot1=16-16=0\), portanto há uma única interseção em \(x=-\dfrac{4}{2\cdot4}=-\dfrac{1}{2}\).