Como se determina o instante em que uma função quadrática atinge seu valor máximo ou mínimo?

\(t_v=\dfrac{-b}{2a}\), e o extremo é \(f(t_v)\).

Explicação:
Para \(f(t)=at^2+bt+c\), se \(a<0\) a função tem máximo, se \(a>0\) tem mínimo.
O instante do extremo é \(t_v=\dfrac{-b}{2a}\). Avaliando \(f(t_v)\) obtemos o valor extremo. As raízes são simétricas em torno de \(t_v\).

Exemplo:
Considere \(f(t)=-2t^2+8t\). Aqui \(a=-2\), \(b=8\).
Instante do vértice: \(t_v=\dfrac{-8}{2(-2)}=\dfrac{-8}{-4}=2\).
Valor no vértice: \(f(2)=-2(2)^2+8(2)=-8+16=8\).
Logo o valor máximo é 8 no instante \(t=2\).